計算可能に数えられないカウント可能なセットはありますか?

Peter Olson 09/22/2017. 3 answers, 1.404 views
computability semi-decidability

集合が自然数との双射を持つ場合、集合はcountableことができ、そのメンバーを列挙するアルゴリズムが存在する場合、 computably enumerable (c.e.)

非有限の計算可能に列挙可能な集合は、列挙から双方向性を構成することができるので、数える必要があります。

計算可能に列挙できないカウント可能なセットの例はありますか? つまり、この集合と自然数との間の共役が存在するが、この共役を計算するアルゴリズムは存在しない。

3 Comments
1 Andrej Bauer 09/22/2017
定義された用語はcomputably enumerable 。 多くの人々は、「数える」と「列挙可能」は同義語であると言います。 私はそれに応じて質問を編集した。
rus9384 09/22/2017
@AndrejBauerは、計算可能かつ再帰的ですsynonims、右ですか?
1 David Tonhofer 09/23/2017
@ rus9384はい。 語彙に関しては、Robert Irving SoareがTuring-Post Relativized Computability and Interactive Computing(2011)に書いているように、明瞭性が統治されるべきです: 1995年までに混乱は耐えられなくなりました。 私はBullのComputability and Recursionに関する記事を書いた。 Symの 「帰納的」を意味するために「再帰的」ではなく「計算可能」でなくてはならない理由とその理由についての論理(1996) 最初は、そのような変更を行う意思のある人はほとんどいませんでした...

3 Answers


David Richerby 09/23/2017.

列挙できないカウント可能なセットの例はありますか?

はい。 自然数のすべての部分集合は数えられるが、それらのすべてが列挙可能ではない。 (証明:$ \ mathbb {N} $は数え切れないほど多くの異なる部分集合がありますが、列挙子の役割を果たす可能性のある数多くのチューリングマシンのみです。)あなたが既に知っている$ \ mathbb {N} $の部分集合は再帰的に列挙できませんたとえば、入力ごとに停止するチューリングマシンをコーディングするすべての数値のセットなどの例です。

5 comments
3 David Richerby 09/22/2017
@ジョージペレスいいえいいえ
3 BlueRaja - Danny Pflughoeft 09/23/2017
これは存在を証明しますが、例を挙げません。
1 Wildcard 09/23/2017
@ BlueRaja-DannyPhlughoeftは、例を挙げると、1つを列挙するのと同じです。 「あなたが例を挙げられないものの例を挙げることはできますか?いいえ?したがって、例を挙げることはできません。 それは簡単に数学的構成主義です。
2 orlp 09/23/2017
忙しいビーバー関数$ \ Sigma $のイメージはそのような集合になるでしょうか? $ \ Sigma $は厳密に増加しているので、$ \ mathbb {N} $で代数的に形成されますが、$ \ Sigma $を列挙できるチューリングマシンはありません。
7 Tanner Swett 09/23/2017
@Wildcardいいえ、例を挙げると、 definingのと同じですね。 定義することはできますが、停止しないすべてのチューリングマシンのセットなど、アルゴリズムによって列挙できないセットがあります。

jmite 09/23/2017.

はい、決めることができない(半定義ではない)すべての言語にこのプロパティがあります。

例えば、$ L = \ {(x、M)\ midM \ text {入力で停止しない}} \\ $を考えてみましょう。

このセットのメンバーを列挙できるアルゴリズムがあるとします。 このようなアルゴリズムが存在する場合、これを使用して入力$ x、M $による停止問題を以下のアルゴリズムで解くことができます。

  • マシン$ M $を$ x $上に$ n $で実行し、$ L $の$ n $ thメンバーを列挙する。

$ M $は停止するか、$ x $で停止しません。 停止すると、停止状態に達する$ n $を見つけることになります。 それが停止しなければ、最終的には列挙で$(M、x)$に到達します。

このように、私たちは削減があり、そのような列挙は存在しないと結論づけることができます。

そのような列挙は、半決定的な問題のために存在する可能性があることに注意してください。 たとえば、$ n $ steps後のすべてのTuring Machine実行の可能なすべてのトレースを列挙し、停止状態で終了しないものを除外することによって、すべての停止マシン入力ペアのセットを列挙できます。

5 comments
rus9384 09/22/2017
無限の複雑さを持つ言語はありませんか?
David Richerby 09/22/2017
@ rus9384あなたが何を意味するか分かりません。 「無計画」はサイズの尺度です。 「複雑さ」とは、決定がどれほど難しいかの尺度です。 しかし、有限の文字列の数え切れないほどの言語はありません。言語を無限にしたい場合、無限の文字列(または無数の「アルファベット」、あるいはその両方)を許可する必要があります。
rus9384 09/22/2017
@DavidRicherby、まあ、jmiteは、決めることのできない問題はすべて有限の文字列で動作すると主張しています。 私はTuring-recognizableできない決めることのできない問題のすべてTuring-recognizableしか成立しないと思う。
jmite 09/22/2017
@ rus9384有限アルファベット上の任意の言語は数えられ、計算可能性は通常、無限のアルファベットを無視します。 この質問も参照してください。
1 David Richerby 09/22/2017
@ rus9384はい、言語は有限のアルファベット上の有限ストリングの集合です。 そのようなものは数えることができます。 数え切れないほどの言語を取得したい場合は、その定義から "finite"のインスタンスの1つまたは両方を削除する必要があります。 しかし、誰かが単に「言語」と言うと、有限のアルファベットの上にある有限の文字列の集合を意味します。

fade2black 09/22/2017.

計算可能性理論では、$ \ Sigma ^ * $($ \ Sigma = \ {0,1 \} $)の部分集合を扱う。 この言語は数え切れないほど無限であるため、サブセット$ L \ subseteq \ Sigma ^ * $は数えられます。 さらに、多くの決定不能で再帰的に列挙可能な言語があり、その補数は再帰的に列挙できない。 これらの言語は$ \ Sigma ^ * $のサブセットであり、したがって数えることができます。

5 comments
David Richerby 09/22/2017
バイナリ文字列を扱う必要はありません。 他のアルファベットよりも文字列に興味がある場合がたくさんあり、計算可能性「再帰理論」と呼ばれる人々は自然数の集合を直接扱う傾向があります。 (つまり、数値自体はプリミティブとして扱われ、バイナリ文字列などではエンコードされません)。
fade2black 09/22/2017
@DavidRicherbyカップル数週間前に私はYuvalsの答えに私はコメントの反対を主張した。 そして、これは最初の同様の場合ではありません。
David Richerby 09/22/2017
Yuvalは多くの回答を投稿しています。コメントをたくさん投稿するので、より具体的にする必要があります。 私は確かに上記の私のコメントに立っているので、私は間違っているか混乱しているか、または私が誤解したか、または私はいくつかの特定のシナリオやそのようなことについて話していた。 私はあなたを混乱させてしまった場合は特に申し訳ありません。
2 rus9384 09/22/2017
@DavidRicherby、実際にはそれぞれの有限アルファベットをバイナリに減らすことができるので、どういうことか分かりません。 あるいは、このケースでは無数のアルファベットがありますか(各数字には一意の記号があります)?
David Richerby 09/22/2017
@ rus9384答えは、計算可能性理論がアルファベット$ \ {0,1 \} $だけを考慮していることを示唆しているようですが、それは真実ではありません。 私は、バイナリ文字列に制限することは理論に大きな違いをもたらさないが、例えばより大きなアルファベットを使用して結果をより簡単に証明することが一般的であることに同意する。

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