ほとんどの数学者は数学のほとんどのトピックを知っていますか?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
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専門分野外のトピックは、よく知っている平均的な数学者ですか?

たとえば、平均的なグループ理論家は、大学院レベルのPDEコースでテストに合格するための偏微分方程式を十分に知っていますか?

また、注目すべき数学者のための "必須知識"トピックは何ですか? どうして?

大学院生として、私は幅広く(グループ理論やPDEなどの相対的に一対一ではない幅広いクラスを選択する)、深さ(例えば、理論理論や機能解析など)に焦点を当てるべきでしょうか?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
グループ理論is偏微分方程式の研究で使用されます。主にPDEが持つ対称性を利用しています。
53 Cauchy 07/27/2017
いいえ、平均的なグループ理論家は、大学院レベルのPDEコースでは$ 0 $となります(ある時点でPDEを勉強したことがありますが、すべてを忘れてしまいます)。
23 Cauchy 07/27/2017
しかし、一般的に、多くの数学者は多種多様な話題に晒されているので、他の支店のツールが必要な場合は、素早くマテリアルを刷新し、関連する文献を読むことができます。
1 owjburnham 07/27/2017
私はこれが国固有のものかもしれないと思うので、タギングする価値はありますか? 私は(英国で)大学院生としての単一のテストを受けたことはありませんでした(良さに感謝します)。
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles、私はポアンカレのことをよく聞いてきました。

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

あなたの質問は、数学的ではなく哲学的です。

私の同僚は、私が学士の学生であり、彼が彼の博士号を取ったときに、次のようなメタファー/イラストを教えてくれました。 そして今から数年が経過したので、私は関連付けることができます。

それを書くのは難しいです。 空中に巨大な円を描き、拡大して、再び大きな円を描くことを考えてみましょう。

これはすべての知識です:

[--------------------------------------------] 

すべての知識にはたくさんの知識が含まれており、数学はその中の小さな部分に過ぎない - 十字でマークされている:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

数学研究は多くのトピックに分かれています。 代数、数論、その他多数の数学を扱っています。 それがここの小さな部分です:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

数値計算は、ODE数値、最適化など、いくつかのトピックにも分かれています。その1つは、PDEのFEM理論です。

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

そして、それは知識の一部です。私は、「私は世界の他の多くの人よりも少し知っています」と気持ちがいいと感じています。
今数年後、私はそのイラストをもう一度進めます:その部分の私の知識は、

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

私はまだそれについて "ちょっと"しか知りません。そのほとんどはわかりません。私が学んだことのほとんどは、すでに忘れられています。

(実際にFEM理論は、楕円、放物線、双曲線、その他の様々な種類のPDEを含む巨大なトピックですので、何度か "ズーム"を行うことができます)。


もう一つの小さな知恵は:学校を終えた人は、彼がすべてを知っていると思っています。 彼は修士号を取得した後、彼は何も知らないことを知っています。 博士後には、彼の周りの誰もが何も知っていないことを知っています。


あなたの焦点について質問する:IMOは最初の数年間、あなたが好きなものを見つけるために数学のトピックを探検します。 そして、あなたが好きなものを見つけたら、もっと深くしてください。

「知る必要がある」トピックはありますか? 最初のいくつかの用語で学ぶ基礎があります。 それがなければ、数学的に「話す」ことができません。 深く掘り下げる必要があるツールを学びます。 その後、数学を楽しむこと自由に感じる:)
あなたの研究焦点が例えばPDE数値(例えば私のようなもの)でも、あなたも純粋な数学を好むなら、先に進み、講義を受けましょう。 それはあなたを助けるでしょうか? 多分そうでないかもしれません。 しかし、確かにあなたは楽しく知識を得ることができました。それが重要です。

参加する講義についてあまり考えないでください。 すべてが大丈夫です。 私は、ほとんどの数学者がその声明に同意すると思います。

4 comments
46 Eff 07/27/2017
これは、博士論文のイラストガイドに似ています
10 Mars 07/30/2017
記録のために、私はプロの哲学者です(Ph.D.哲学、教授としての仕事、すべて)。 Soo ...私の専門的な意見では、この質問は哲学的ではありません。 それは経験的です。 OPは数学者についての経験的一般化を求める。 P. Siehrの提案は、質問が不正確に述べられているか、または誤った仮定に基づいているということです。 それは疑問やその可能な答えを哲学的にするものではありません。 (私はP. Siehrに同意しないと述べられているような質問は答えられず、私の発言はコメントに対する支持を意味するものではない)。
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars数学的な文脈における「哲学的」は、通常、哲学の分野を指すのではなく、厳密で正式な数学以外の数学的に関連した、あるいはインスパイアされた考え方のほとんどを指すことに注意してください。 (私は単語を使用して数学者がこれを認識することを願っています!)質問は実際の言葉で哲学的ではないことに同意しますが、私はそれが多くの数学者によって採用された意味で哲学的だと思います。
Mars 08/09/2017
ああ、それは面白い@JoonasIlmavirtaです。 ありがとう。

Georges Elencwajg 07/27/2017.

あなたの質問に対する答えは簡単です:
いいえ、代数幾何学に特化した平均的な数学者は、 without preparationで偏微分方程式の大学院レベルの検定を通過できませんでした。
まあ、それよりも悪い:彼は偏微分方程式について学部レベルの試験に合格することさえできなかった。
待ってください、それはさらに悪いです:彼は自分のものとは異なる専門的なトピックin algebraic geometry試験に合格できませんでした。 たとえば、ヒルベルト計画に特化しているならば、特異点の分類に関する初等試験。
逆に、最近Fieldsのメダルを持っている悪名高いアナリストが、例えば、学部代数幾何学の標準的な紹介であるFulton's Algebraic Curves第5章の演習を解くことができれば、私は非常に驚くでしょう。

Some remarks
1)私が書いたことは私的には簡単だが、公開することは不可能である:
最近の会話では、尊敬される確率論者XXXが、彼が円の根本的なグループが何であるか分からないことを十分に証明しています。

2)著者YYYが、従属グループからの手法を用いて偏微分方程式に関する記事を書いたとしても、彼の分野の他の専門家がグループ理論を知っていることを意味するものではない。
YYYがグループ理論について多くのことを知っていたことを証明することさえできません。彼は、グループ理論が彼の研究に関わっていることに気がついているかもしれません。

3)明るい面では、非常に例外的な数学者の中には、Atiyah、Deligne、Serre、Taoの数学のほぼすべての主題について多くのことが分かっているようです。
私の悲しい予想は、時間が経つにつれてその数がゼロになる関数であるということです。
そして、私は分析試験をすることができませんでしたが、私は$ \ mathbb N $評価された関数のためにこれが何を意味するのか分かっています...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
私たちには、私の部署の中には、少なくとも幅広い分野のサブフィールドにコメントできる人がいます。 いくつかのジオメトリには、ジオメトリの非常に多くの領域について賢明な何かがあります。 多分すべてを知ることは不可能かもしれません。 しかし、うまくいけば、多くの事についてたくさんのことを知ることはまだ可能です。 私はそれがおそらく十分であると思います、今、知るべきことがもっとたくさんあるからです!
1 Santropedro 07/28/2017
ジョルジュ、「逆に、最近、フィールドメダルを持っている悪名高いアナリストが、例えば、フルートの代数曲線の第5章で、学部の代数幾何学の標準的な紹介を解くことができれば、私は非常に驚くだろう」 どのくらいの時間彼らはそれぞれの運動を考えることができますか? 私たちが彼らに本を読んで練習するのに十分な時間を与えたら、私には十分に彼らを解決するだろう。 彼らは本を読むことを許されていないのですか?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
親愛なる@Santropedro、もちろん、その華麗なアナリストが1〜2週間与えられれば、彼は本を読んでからその演習を解決することができました。 私が作りたかったのは、おそらく彼が現在知っていることで解決できなかったことでしょう。
2 Michael Kay 07/28/2017
数年前、私は娘が家に持ち帰ったGCSEの数学の論文(16歳の年齢)を試してみるのが楽しいと思っていました。 その時代、私は難なくそれを駆け抜けたでしょう。 ソフトウェアエンジニアリングでの私の仕事は、数多くの数学への定期的な暴露を伴いますが、私は1つの質問に答えることができませんでした。
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars:はい、それはまさにポイントです。 OPは、数学者wasよく知っていた科目について尋ねました。 彼couldそのような主題に慣れるcould 、それがどれくらいの時間を取ることがcouldかどうかの疑問は、全く異なっており、「華麗」であるという概念とはまったく相関しています。

MCS 07/29/2017.

私の2つのセント:あなたが魔法の脳を持っていないか、或る種の画期的な天才でなければ、あなたはたぶんあなたの心の中で、いつでも多くの数学だけを保持することができます。 したがって、実用的な理由(論文作成に関することと自分自身のためのキャリア形成に関して)は、おそらく密接に関連する1つか2つの分野に固執するべきです。そうすれば、研究機関、あるいはあなたが将来あなたが望むことが何であれ、

言われているように、私は、肘のグリースと数学のスキルがしばしば悲観的にお互いにuncorrelatedであることを発見しました。 むしろ、スキルは、しばしば数学がどれだけseenたかに依存していseen 。 その目的のために、私はあなたが間違いなく科目を1つまたは2つ選ぶべきですが、できるだけ幅広い数学分野に積極的に関心を持つように努力すべきです。

私はしばしば私の研究分野とは無関係の数学の形式についての読書(たとえばかりであっても)が、新しいアイデアや洞察力を豊かに提供することを見出します。 あなたが知っているパターンや現象が多くなればなるほど、あなたの仕事に関心のあるものがあることに気づくでしょう。そうしなければ、あなたが直面していないかもしれない直感を得るかもしれません。 少なくとも、それは、あなたが最も専門的な分野の外で何かを遭遇したときに、どのトピックや情報源(または共同研究者)が目を覚ますかを知るのに役立ちます。

編集:もう一つ。 Linear algebra. ベネディクト・グロスを言い換えれば、線形代数があまりにも多いことは知りません。 それはeverywhere狂っeverywhere


paul garrett 07/27/2017.

もちろん、質問にはあいまいさがあります。 しかし、どんな解釈であれ、答えは一般的に「いいえ、Xの一部のほとんどの実践者はXのすべてを覚えていません。

したがって、ほとんどの賢明な人々の記憶が時間とともに消えてしまった場合にのみ、数年間のある種のことに取り組んでいる数学者の心に、標準の基本的なものがわずかに残ることになります。 微積分を教えることは別として、他にも多くのことを覚えてneedはほとんどneedません。 はい、奨学金の観点からは、これは潜在的に悲惨ですが、実際には、ほとんどすべての専門数学の状況では、本物の奨学金にはほとんど動機/報酬がありません。 それはどういうわけか給与増加の公式、在籍、または他の多くに収まりません。 (私が自分のことを「給料」のために理解しようとしているのかどうかは気にしていません...)

確かに、数学における米国のほとんどの大学院プログラムは、基本的な数学の大きな部分について、ある程度の最小限のコンピテンシー/評価を生み出そうとしますが、「合格者を通過」した後、大多数の人々は、原則として、または直接的な利益の可能性について、奨学金を授与します。

また、私は(私が思うところでは)「専門化」は「顕微鏡でズームインする」のような単純な写真に問題を抱えています。 確かに、これは防衛的な世界観であり、主体的な世界観であり、確かに、自分の行動によって、それはaccurate記述になることができます...しかし、それは現実の正確さではないと思います。 具体的には、本物のアイデアは、「物理的なズーム顕微鏡」が関連性があるため、「ローカライズ」されているとは思われません。 つまり、「数学」はあらゆる合理的な方法で物理的なものとして描写することができ、それが意味するすべての局所性を必然的に伴っていると私は思うが、それはひどく不正確だと思う。 もう一度、はい、私達は無知か無知によって何か他の何かが無ければそれを正確にmakeことができます。 しかし...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

平均的な数学者が知っている数学問題の数は、2つの定義に大きく依存します。

  1. トピック
  2. 知っている

もちろん、他の定義(数学者のような)にも依存しますが、その程度は低くなります。

この質問に答える定量的アプローチ

ウィキペディアに基づいて、次のようにトピックのレベルを定義しましょう。

  1. 数学(このレベルの1つのトピック)
  2. 純粋数学/応用数学(このレベルの2つのトピック)
  3. 代数、...、オペレーションズリサーチ(このレベルの13のトピック)
  4. 抽象代数、ブール代数、...(このレベルのトピック)

さて、個人的な経験と平均的な数学者のイメージに基づいて、私はこのような数学者が各レベルについてこれについてどれだけ知っているか答えることができます:

  1. このトピックについて大学院のコースに合格することができます
  2. これらのトピックについて大学院のコースに合格することができます
  3. これらのトピックのいくつかに大学院コースを渡すことができます、これらのトピックのほとんどの入門コースを渡すことができます
  4. これらのトピックのいくつか(おそらく5〜15%)で大学院のコースに合格することができます

レベル4を超えて進んだ場合、そのようなトピックについて完全な大学院コースを見つけることができないほど具体的になることに注意してください。 したがって、私の結論:

個人的な経験に基づいて、私は平均的な数学者が大学院レベルのトピックの5%から15%の間の知識を持つことを期待しています


Linas 07/29/2017.

私は数年間、大学図書館の各棚にある少なくとも1つの数学の本の最初の1-2章を読むプロジェクトに費やしました。 それは、数学の公平な調査を得る試みでした。 それは私にとっては良いことでしたが、それは贅沢でした。博士号プログラムと学界への強制的な行進は、そのような行動のための時間をほとんど提供しません。 それでも重要なのは、最も有名で最も有名な数学者のすべてが、明らかに自分の仕事にクロスディスコース的なツールを採用していることです。 そして、私にとっては、個人的には一種のレベルアップでした。突然、すべてが簡単です。

1つのフィールドを専門とすることは、右腕だけで体重を持ち上げるようなものです。芯、背もたれ、足を無視します。驚くほど弱くて無能です。 多くの異なるスタイルの抽象化を習得しなければならないときは、抽象化、一般には選択した専門分野でさえもよくなります。 これは、私には大きな予期せぬ驚きでした。

ここで質問されたより定量的な質問:私は "大学院レベルのXYZコースでテストに合格することができますか?" 1年次、第1学期のコース、多分、多分、おそらく。 並べ替え 試験は、授業の教科書と密接に関連するフレーズと表記法を使用して質問を提出する傾向があります。この表記法は、教科書ごとに大きく異なる場合があります。 それで、準備が必要になるでしょう。そのような準備が簡単になるということです。

1 comments
Lehs 07/29/2017
大学図書館には数学の本がたくさんあるはずです。 私はすべてのタイトルを学ぶことはできませんし、確かにすべての本のすべての定義を学ぶことはできません。 そしてそれは多くの文脈を覚えているだけです。 しかし、専門家の数学者は、もしかすると本の文脈を理解することができます。

R K Sinha 08/07/2017.

大学院レベルの数学の教科書には、「本当の主題」をできるだけ早く教えることを目的として書かれています。 「シンハのスムースマニフォールド」はそのような本の1つです。 このようなタイプの本が多数入手可能になると、数学の奨学金は笑い物にはならないでしょう。


John Bentin 07/27/2017.

確かにそうではありません。 たとえば、偉大な数学者Grothendieckは整数$ 57 $を非主要なものとして認識するには算術に不慣れでした。 このストーリーの多くのアカウントは、主要な用語のインターネット検索によってアクセスできます。 例えば、 grothendieck prime 57探してgrothendieck prime 57

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
これはばかげた例です! Grothendieckは一般的に素数について考えていました。 彼は$ 57 $がプライムであるかどうかについてはあまり気にすることができませんでした。
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
物語は構成されていません:Grothendieckは、聴衆のメンバーによってより具体的に求められた後、話の後に交換で、その愚かな大失敗をしました。 もちろん、これはGrothendieckが20世紀の最も深刻な算術派の一つであったという事実に何も変わりません。 そして、実際にlooks 、心理的な理由から、57 looks少しプライムにlooks :-)。 逆に、多くの数学者は$ 4999 $ isプライムであると私に言いますと、私は自分の足を引っ張っていると思います!
1 Dair 07/27/2017
私はテランス・タオも、コベルトの報告書のように27がプライムだったと言っていると信じています:p(彼は素数に慣れていない、面白い逸話ではありません)しかし、もっと良い質問はどうやってこれを知るのですか? そして、私は自分の人生で何をしていますか?
1 quid 07/27/2017
'しかし、Grothendieckは57が素数ではないことを知っていたに違いない、そうですか? Brown UniversityのDavid Mumfordは言っています。 「彼は具体的には考えていない」と述べた。「確かに彼は「57は素数ですか」という質問に答えることができるという意味でそれを知っていたからです。 正しく、これはそこでぼやけてしまいます。
1 John R Ramsden 08/02/2017
たとえ偉大な数学者の知識でさえ避けられないギャップを指摘するというやや味のないアプローチであると思われる元の質問に答えるなら、Grothendieckが遭遇した一定の完全な積分について同僚に尋ねると、通常は正規分布と呼ばれていると言われて驚いた。

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