常にその導関数よりも小さい関数

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

私は$$ f '(x)> f(x)$$がすべての$ x $に対して機能するかどうか疑問に思っていました。 私が考えることができる例は、$ c> 0 $である$ e ^ x - c $と単純に$ c $でした。 また、その導関数より常に小さい関数には何らかの重要性がありますか?


編集:すべての返信をありがとうございました。 適用されるほとんどすべての関数が本質的に指数関数であるようです... - 1 / xのような例がありますか?

これらの機能のアプリケーション/物理的な兆候はありますか? [例えば、常にその位置/加速度よりも大きい速度を持つ物体は常にその速度よりも大きい]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
私の頭の上から離れて、下半分の平面上で境界があり、単調に増加する関数。
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixionの答えは完全で最も一般的な解決策を提供しますが(ソリューションのいくつかの特定のファミリはより良い形式で書き込み可能かもしれませんが)、受け入れられるべきです。
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! しかしタイトルを修正して、 "its"を "their"に変更してください。 あなたがすべての注文の派生品を検討していたように、タイトルが書かれている方法です。 そして今、私はこの側面の質問に興味があります。

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

もし$ x '= y'(x)= y(x)\ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $なら、$ f(x)= y '(x)-y(x)$を定義することができ、 $ x $。 $ y '(x)$が連続関数であり、$ f(x)$も連続であるとする。 この要素を使って、微分方程式$$ y '(x)= y(x)+ f(x)$$を構築することができ、その解は次のように与えられます:$$ y(x)= e ^ {x} ($)$($)$ $ {$ s} $($)$$

これらの機能のアプリケーション/物理的な兆候はありますか? [例えば、常にその位置/加速度よりも大きい速度を持つ物体は常にその速度よりも大きい]

この興味深い財産のアプリケーションがあるかどうかはわかりませんが、均質な量ではないため、速度を位置と比較することはできません。


Aidan Connelly 07/29/2017.

$ f(x)> 0 $、$ f:\ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $とすると、

$ f '(x)> f(x)\ iff \ frac {d} {dx} \ ln(f(x))> 1 $

だから、あなたは関数の$ g '(x)> 1 $を関数の指数関数を使ってこのタイプの関数に変えることができます:

$ \ frac {d} {dx} \ ln(e ^ {g(x)})> 1 \ implies \ frac {d} {dx} e ^ {g(x)}> e ^ {g(x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
最初は$ f(x)> 0 $と仮定します
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen:次に、任意の$ f $の出発点として$ \ hat {f}(x)\ equiv e ^ {f(x)} $を使うことができます。 そうすれば、常に$ \ hat {f}(x)> 0 $が得られます。
Robin Saunders 07/29/2017
Ixionの答えは、$ \ frac {df} {dx} -f(x)$がどこでも陽性の関数であることを可能にすることによって完全な一般化を与える。
Adayah 07/29/2017
@RobinSaundersいいえ、彼は$ f '(x)$の連続性を仮定しています。
Robin Saunders 07/29/2017
私は、条件が実際には必要ではないと確信しています。

Peter 07/28/2017.

簡単な例は$ f(x)= - x ^ 2-3 $です


dromastyx 07/28/2017.

より興味深い問題は、画像が$ \ mathbb {R} $で、$ f '(x)> f(x)$を満たす関数$ f:\ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}すべての$ x \ in \ mathbb {R} $に対して。 これらの機能の1つは

$$ \ sinh(x)、$$

なぜなら

すべての$ x \ in \ mathbb {R} $に対して、$$ \ frac {d} {dx} \ sinh(x)= \ cosh(x)> \ sinh(x)


M. Winter 07/28/2017.

$ f(x)= e ^ {\ alpha x} $を取る。 $ f '(x)> f(x)$と$ \ alpha <1 $に対して、$ f'(x)<f(x)$となる。


steven gregory 07/28/2017.

あなたはそれを微分方程式として見ればどうですか? いう

$ y '= y + 1 $

それは解$ y = Ce ^ x -1 $を持つ

または$ y '= y + x ^ 2 + 1 $

$ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3)$の解を持つ

または$ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

$ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $の解を持つ

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixionの答えは、任意の$ f(x)> 0 $に対し、これを$ y '(x)= y(x)+ f(x)$に一般化する。
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - 私は私の答えを削除する必要がありますか?
Robin Saunders 07/30/2017
Stack Exchangeのエチケットはあまりよく分かりませんが、まず回答を投稿した後、特定の例が他の回答に含まれていないので、それを残しておいてください。

Eric Towers 07/30/2017.

very簡単な例は、$ f(x)= -1 <0 = f '(x)$です。 あなたの編集に関連します:これは指数的なものではありません。

指数関数的ではない他の例:

  • $ \ frac { - \ pi} {2} + \ arctan x $はどこでも負であり、どこでも厳密に単調に増加しています。
  • $ -1 + \ mathrm {erf}(x)$はどこでも負であり、どこでも厳密に単調増加しています。 (標準/正規化されたCauchyおよびGaussian分布のCDFのシフトコピーであるため、これらは非常に似ています。)
  • $は、$ x $軸と線$ y = x $を持つ双曲線の下側の枝である$(左辺)漸近線。 それはどこでも負であり、どこでも厳密に単調に増加しています。

Thiago Nascimento 07/28/2017.

\ frac {1} {x}、\ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0、\ infty] $を参照してください。

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
より一般的には、正の導関数を持つ任意の負の関数...

Joshua Kidd 07/28/2017.

別の簡単な例は$ f(x)= -e ^ { - x} $、$ f '(x)= e ^ { - x} $です


Adayah 07/29/2017.

不等式$$ f '(x)> f(x)$$は、$$ \ left [f(x)e ^ { - x} \ right]'> 0に相当します。$$

したがって、一般的な解は、$ g '(x)> 0 $で任意の微分可能な関数$ g(x)$をとり、$ f(x)= g(x)e ^ x $を置くことです。

微分可能性を除いて$ f $については何も仮定されていないことに注意してください。これは最初に質問をするために必要です。


HelloGoodbye 07/30/2017.

$ f '(x)$と$ f'(x)$の両方が有限の範囲に限定される任意の微分関数$ f $に対して、$ f '(x) - f(x)$も有限範囲に制限され、 $ f '(x)-f(x)> -c \\ forall \ x $の$ c $があります。 したがって、$ g '(x) - g(x) - c> -c \ \ forall \ x $または$ g'(x(x) )> g(x)\ \ forall \ x $。

例えば、これは多くの微分周期関数に当てはまります。

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
すべての微分可能な周期関数が微分を限定しているわけではないので、最後の文は間違っています。
HelloGoodbye 07/30/2017
あなたは正しい。 私は$ \ mathbb {R} $のすべての点で微分可能な周期関数を検討していましたが、関数は微分可能であるとみなされるためには、そのドメイン内のすべての点で微分可能でなければなりません。 私は私の答えを更新しました。
Adayah 07/30/2017
つまり、関数$ f:\ mathbb {R} \と\ mathbb {R} $は周期的かつ微分可能であり、すべての点$ \ mathbb {R} $において未定義派生を持っています。
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayahあなたはそのような機能の例を持っていますか?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah私は関数f f $がどこでも微分可能であれば、その微分$ f '$はどこにでも存在しなければならず、$ f' $は連続でなければならないことを意味します(不連続を含んでいれば、$ f ' )。 それは$ f '$が無制限になることを不可能にします、そうですか?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

マイクあなたの追加の質問への答えは、 "これは物理的な例はありますか?" dromastyxによって有効になります。

彼の例は、「ソリトン」の物理現象を正確に表す双曲線関数を示しています。

ソリトンは、太陽フレア、津波などの孤立波である。既知の方程式に隠されたこのような波を見つける例は次のとおりである。

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

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