積分の限界を求める:$ \ lim_ {n \〜\ infty} \ int_a ^ bf(x)\ sin ^ 3 {(nx)} \:dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

$ f:[a、b] \ to \ mathbb {R} $が連続しているとします。 次の制限が存在するかどうかを判断する

$$ \ lim_ {n \〜\ infty} \ int_a ^ bf(x)\ sin ^ 3 {(nx)} \:dx。$$

$ f(x)$と$ \ sin ^ 3 {(nx)} $は連続しているので、その積はリーマン積分可能です。 しかし、$ \ lim_ {n \〜\ infty} f(x)\ sin ^ 3 {(nx)} $は存在しないので、一様に収束するわけではなく、 それはDini定理の条件でも満たされない。 私はこの問題の正当な議論をする方法を知らないが、私は限界が存在しないと言っていると思う。 私はどんな助けにも感謝します。

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

リーマン=ルベーグの補題 。 $ \ sin ^ 3(nx)= \ frac {3} {4} \ sin(nx) - \ frac {1} {4} \ sin(3nx)$に注意してください。

2 comments
Parisina 07/31/2017
ありがとう、私は今、それを完了することができると思います
Teepeemm 07/31/2017
それは問題が求めているよりも進んだようです。

Sangchul Lee 07/31/2017.

これを解決するための若干異なる方法は、次のような観察を使用することです。

Proposition. $ f:[a、b] \ to \ mathbb {R} $が連続している場合、$ g:\ mathbb {R} \と\ mathbb {R} $は連続し、$ L $ -

dx = \ left(\ int_ {a} ^ {b} f(x)\、$ \ \ lim_ {lim} dx \ right)\ left(\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g(x)\、dx \ right) $$

  1. この文を前提とすると、$ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $は$ 2 \ pi $ -periodicであり、

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \、dx = 0 $$$

  2. 直感は非常に明確である:$ n $が非常に大きい場合、部分区間$ [c、\ frac {L} {n}] \ subset [a、b] $にある

    {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} \ {c} n}} g(nx)\、dx = f(c)\ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g(x)\、dx。 $$

    だから詳細を無視すると、

    \ $ {\} \ {\ fB \ fB \ fB \ fB \ \ frac {1} {n} \ right)\ left(\ int {0} ^ {L} g(x)\、dx \ right)$$

    $ n \〜\ infty $とすると、右辺は所望の値に収束する。 細部の記入は非常に日常的です。

  3. 連続性の仮定は単純な証明のための技術的な設定に過ぎず、より多くの労力を費やして一定の程度まで緩和することができます。


Michael Hartley 07/31/2017.

あなたは$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg(x、n)を結論づけることはできません。 )$$はそうではありません。 例えば、$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin(nx)$$は存在しませんが、$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin(nx)dx =すべての$ n $に対して積分がゼロであるため、$、$、$$を返します。

私は限界が存在するとは思うが、この時点で私の有用性がなくなるのではないかと思うが、何もないなら、積分を長さの間隔でまとめたものを表すεデルタ議論$ \ frac {2 \ pi} {n} $。 これは、問題に取り組むための非常に悪い方法かもしれません。

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