応力テンソルの圧力?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
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応力テンソルは、$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} \ tag {1} $$と書くことができます。 '$は余分な応力テンソルと呼ばれます。

圧力が圧力であることを理解することは、単位面積当たりの力であるから、面$ d \ vec A $に働く力は、次のように与えられる。$$ \ vec F = -pd \ vec \ label {2} \ tag { 2} $$(これは、連続的な圧力に起因する無限に薄い表面上の力がゼロであるという効果を有する)。 しかし、$ \ sigma_ {ij} $は、$ \ hat e_j $方向にnormalを持つサーフェス上の$ i $方向の力を表します。 $ $ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$方程式(2)と(3)は明らかに一致しません(私たちが$ d \ vec $方向の力にそっくりであっても、彼らは同意しません)。 だから私の質問は、式(1)の圧力の正確な意味は何か、なぜそれはないのでしょうか?$$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

連続体力学の通常の枠組みの中では、2つのタイプの力、すなわち体力と表面力があると仮定されている。 後者は、Cauchy応力テンソルであるテンソル$ \ textbf {T} $によって表現可能であることを示すことができます。 このテンソルは、次のようにして、表面上の局所的な応力を生じさせます。$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$次に、Cauchy応力テンソルを等方性圧力寄与と応力寄与に分解することができますあなたの方程式(3)は正しいです。 あなたの方程式(2)は、表面上の力に貢献しますが、全体の力には貢献しません。


Deep 10/15/2016.

流体力学では、応力テンソル$ \ sigma_ {ij} $が主要な量です。 圧力は、あなたの質問に記載されている方程式(1)によって定義されます。 明らかに、$ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $($ \ sigma '_ {ij} $は無意味です。 換言すれば、圧力は、応力テンソルが計算される点を通る3つの直交平面上の法線応力の平均として定義される。 このように定義された圧力は、機械的圧力として知られている。 あなたの質問に記載されている方程式(2)がこのように解釈されると、一般的に無効になります。 あなたの質問に記載されている式(3)は、方向$ i $の流体要素の正味の力を計算する正しい式です。

厳密に言えば、あなたの質問で言及された方程式(2)は、流体力学のみに適用可能である。なぜなら、$ \ sigma '_ {ij} = 0 $、従って$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $、これは、法線応力がすべての方向で同じであり、したがって式(2)が明確であることを意味する。 しかし、平衡熱力学から流れに関係を適用するとき、人々はこの平均値を熱力学的圧力と同じにします。 この近似を行うと、その近似式(2)の範囲内で流れに適用することができる。 例えば、バルーンが膨張している場合、バルーン内の流れは複雑になる。 しかし、バルーン内部の温度が均一で、理想気体方程式が適用可能ならば、バルーンの内壁の(熱力学的な)圧力を計算し、これがNavier-Stokes方程式に現れる圧力であるかのように見せかけることができます圧力は式(1)によって定義される)。

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