「ポイントへの圧力」の正確な定義とは何ですか?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

私はLandauのFluid Mechanicsを読んでおり、最初のページではすべての点と毎回の圧力を$ p = p(x、y、z、t)$と定義しています。 ここでは、すべての "ポイント" $(x、y、z)$は実際に小さな差分ボリューム$ dV $です。例えば、$ dx $、$ dy $、$ dz $($ dV = dx dy dz $)これには多くの粒子が含まれています。

この圧力$ p $は、関数として、$ \ oint_S p \ dS $が任意の面$ S $上の外部外力の合計であるという性質を持っています。これは、圧力が小さな体積dVはその表面の値を分けた。 たとえば、次元$ a、b、c $のボックスのすべての面に力を適用すると、次のようになります。

小さな箱と軍

このボックスの上の圧力は次のようになります。\ begin {equation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x - } + F_ {y +} + F_ {y - } + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

今、たとえば、もし私が$ L $、$ 2L $、$ 2L $、そしてこのボックスの上にある大きさの箱があれば、この箱を圧縮しようとする外力$ F_x $、$ F_y $、$ F_z $、ボックスが移動しない場合、ボックスに適用される合計外力は$ 2(F_x + F_y + F_z)$です。 力が面上に均一に分布しているとします。

ここに画像の説明を入力

次に、このボックスの表面上の圧力の積分を計算しましょう($ 2(F_x + F_y + F_z)$でなければなりません)。 これを行うには、$ L ^ 3 / n ^ 3 $の小さなキューブでボックスを分割できます。 $ x $軸に直交する2つの面のそれぞれの力は$ F_x / 4n ^ 2 $であり、$ y $軸に直交する面の力は$ F_y / 2n ^ 2 $です。同様に、 $ z $軸に直交する面は$ F_z / 2n ^ 2 $です。

それで、ボリューム$ L ^ 3 / n ^ 3 $の各小さな立方体の上の圧力は次のようになります:\ begin {equation} p_0 = \ frac {2 \ left(\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right}} {6L ^ 2 / n ^ 2} \ end {equation}

エッジと頂点を無視して、サーフェス上の小さな立方体の総数を端点とし、$ p_0 $を掛けて、圧力面積分を推定することができます。 サーフェス$ 2L ^ 2 $の2つの面には、$ 2L ^ 2 $の面の残りの4面に$(2n-2)^ 2 $の立方体があります。 2 $。 $ S $を大きな箱の表面にする。 $ \デルタS $を小さな立方体($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $)の顔の表面とする。

p_0 \ Delta S = \ left(2(n-2)^ 2 + 4(2n-2)\ right)\ begin {式} \ oint_Sp \ dS \ approx \ left 2)^ 2 + 4(2n-2)(右)\ frac {2 \ left} \ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {2 ^ 2} \ {2} \ {2} \ {2} \ {2} \ {2} \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right} \ end {式}

$ n \ rightarrow \ infty $のように制限し、サーフェスの積分ではエッジが無視できると考えます。

\ begin {equation} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {equation}

しかし、表面上の力は$ 2(F_x + F_y + F_z)$なので、これは正しいとは言えません。 私は本当に何が間違っているのか分かりません。 圧力の定義ですか? それとも統合ですか?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

本書では、数量が総力であると述べられています。 太字の$ \ mathrm d \ mathbf f $に気付くと、それがベクトルであることがわかります。これは基本的に積分がコンポーネントごとに行われ、計算が適用されないことを意味します。 たとえば、$$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $他の構成要素についても同様である。 この例では、dSはベクトルではありません。 ご覧のとおり、常に元のコンポーネントを取得します。

正確な定義に関しては、ベクトル$ \ mathrm d \ mathbf F_n $、表面の$ \ mathrm d \ mathbf F $の正規成分、$ \ mathrm d \ mathbf S $の間の比例定数です。 これらのベクトルは一般に位置の関数であるため、無限に定義されています。


Farcher 01/03/2017.

力や領域をスカラとして扱い始めると、あなたの問題が始まります。

次に、このボックスの上の圧力は:

F_ {y +} + F_ {z +} + F_ {z}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {方程式}

間違っています。

Wikipediaの圧力に関する記事で説明されているように、領域に力を与える方程式のベクトル形式を使用する必要があります。

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