GNS構築の直観とそれが通常の量子力学にどう関係するか

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

1つの論文を読むと、 GNSの構成は次のようになります。

Gel'fand、Naimark、Segal(GNS)による結果(定理)は、任意の$ \ omega $ on $ \ mathcal {A} $に対して常に$(f_ \ omega、 $ f_ \ omega(\ mathfrak {h} _ \ omega)$ \ mathcal {A} $と$ \ Phi_ \ omega \ mathfrak {h} _ \ omega $(通常はcyclic vectorと呼ばれます) \ phi_ \ omega $は$ \ mathfrak {h} _ \ omega $と$ \ omega(A)= \ langle \ Phi_ \ omega |で密である。 f_ {\ omega}(\ mathcal {A})| \ Phi_ \ omega \ rangle $。 さらに、GNSの結果は、ユニタリ等価まで、$(f_ \ omega、\ mathfrak {h} _ \ omega)$は$ \ mathcal {A} $の一意の循環表現であることを保証する。

今、数学を考えると、定理とそれに対応する証明があります。 私のここでのポイントはこれらについて話すことではありません。 私のここでのポイントは、物理学の観点からこの構築に関する直感を議論することです。

$ C ^ \ ast $ - 代数的アプローチでは、各状態$ \ omega:\ mathcal {A} \は\ mathbb {R} $がケート$の対応物であると考えました。 \ phi \ rangle $を伝統的なアプローチで使用しています。

しかし、GNSの構築では、 各状態$ \ omega $は1つの表現を誘導することがわかります。 言い換えれば、各$ \オメガ$に対して1つのケートを持つ代わりに、各$ \オメガ$に対して1つのヒルベルト空間全体があります。

それ以上に、我々は物理的に私が理解していない循環的なベクトル条件を持っています。

だから私の質問は:物理学の観点からGNS構築の直感は何ですか? 代数的アプローチの状態$ \ omega $は伝統的なアプローチのkets $ | \ psi \ rangle $(状態ベクトル)にどのように関係していますか? 物理的な視点からの周期的なベクトル条件は何ですか?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

GNS構築の基本的な考え方は、ヒルベルト空間全体を再現するために、単一の状態を使用することです(フラットスペースで作業する場合は、これが真空になることがよくあります)。 これは実際に循環性に関係しています。真空の代数の作用によって生成されるすべてのベクトルの集合は、得られたヒルベルト空間で密である。 したがって、完全なヒルベルト空間を生成するには、ヒルベルト空間の密な部分集合を生成するために$ C ^ * $代数のすべてのメンバーを適用し、完全なヒルベルト空間を生成するためのCauchy補完を行います。

ヒルベルト空間としての通常の表現を取り戻す簡単な方法は、代数の3つのメンバーの積を考慮することです。そして、ヒルベルト空間演算子としてのそれらの表現$ \ pi $

$$ \ omega(ABC)= \ langle \ omega、\ pi(ABC)\ omega \ rangle $$

次に、状態$ \ vert \ psi \ rangle = \ pi(C)\ vert \ omega \ rangle $と$ \ vert \ phi \ rangle = \ pi(A)\ vert \ omega \ rangle $を定義することができます。あなたの状態は

$$ \ omega(ABC)= \ langle \ phi、\ pi(B)\ psi \ rangle $$

これは、2つの状態間の通常の移行になります。

これの簡単な例は、例えば、真空における創造と消滅の演算子を考えることです。 彼らは$ C ^ * $代数を形成し、彼らは真空状態でHilbert空間を形成する任意の数の状態を作り出すことができます。 一方、バキュームでの作成演算子の適用は、Fock状態で定義された状態を提供しません

$$ \ vert 1,1,1,1,1、.... \ rangle $$

この状態を基本的な$ \ omega $として使用した場合、我々は一義的には等価ではない理論を持つだろう。


ACuriousMind 06/13/2017.

逆の順序で:

  1. 循環性は、還元不可能な状態の一種であると考えられるべきである。 既約表現のすべてのベクトルは周期的であることに注意してください。したがって、非周期ベクトルの存在は還元性を示します。 ですから、すべての既約表現を研究するための通常の考え方を超えた循環性には、代数に関するすべての関連情報がまとめられているため、ほとんど意味がありません。 言及する価値があるかもしれない1つの側面は、周期性を要求することは、GNS構築をuniqueにするということである。与えられた抽象状態がベクトルで表される多くの空間があるかもしれないが、それが循環するすべての表現は、

  2. ヒルベルト空間$のすべての表現に対して、\ mathcal {A} \から\ mathrm {B}(H)$までのすべての表現に対して、ある方向でベクトルから状態への関係があります。 $ \ mathrm {B}(H)$とH $内のすべてのベクトル$ v \、$ \ mathcal {A} \を\ mathbb {C}、A \ mapsto \ langle v \ vert \ ρ(A)\ vert v \ rangle $は抽象的な意味での状態です。 逆に、すべての抽象状態にヒルベルト空間があり、その意味でその空間上のベクトルによって状態が与えられるのは、GNS構築のポイントです。

  3. 私はそれについて何も直感的ではありません(そして抽象的な$ C ^ \ ast $ algebrasのためにどのような直感を期待しているのでしょうか?)しかし、物理的には、GNSの構築は抽象的な$ C ^ \ ast $ -algebraicヒルベルト空間上の観測可能な代数から始まる従来のアプローチは等価である:代数$ \ mathcal {A} $の(純粋な)状態に関連するすべてのGNS表現の直接合計は忠実であり、アイソメトリであり、は、抽象代数は、そのヒルベルト空間上の有界演算子の代数と同型的に同型である。 したがって、「抽象」または「具体的」の視点を取るかどうかはno difference in the outcomes 。 これはGel'fand-Naimark定理の内容です。


user154997 06/13/2017.

物理学者として、私はGNSを以下のように理解しています。

短縮版

観測値、期待値、対称性が与えられれば、ヒルベルト空間、期待値の定義を「サンドイッチ」、通常の対称性の表現で再構成することができる。

より正式なバージョン

我々は自分自身を与える

  • 代数$ \ mathcal {A} $は$ A \ mapの下で安定しています。^ * $:これらは演算子で識別されます。
  • その代数の各要素に複素数を関連付ける関数$ \ omega $:これらは演算子の期待値となります。
  • その代数に作用する対称性グループ$ G $
    • 対称$ s $は$ s(AB)= s(A)s(B)$を満たす。
    • $ \ omega $ invariant:$ \ omega(s(A))= \ omega(A)$を残します。

その後、GNSは次のように構成します。

  • ヒルベルト空間$ \ mathcal {H} $、
  • 真空ベクトル$ \ mid 0 \ rangle $、
  • $ \ phath(AB)= \ phi(A)となるような$ \ mathcal {A} $から$ \ mathcal {H} $への写像である代数$ \ mathcal {A} (A)$:$$ \ omega(A)= \ phi(B)$の期待値が$ \ phi(A)$の期待値であるという性質を持つ。ラウンド0 \ミッド\ファイ(A)\ミッド0 \ラングル$$
  • ヒルベルト空間上の対称性、すなわちG $の各対称性をもたらす対称性グループの単一反復は、ヒルベルト空間上の単位演算子$ U_s $に関連付けられ、その結果、$$ \ phi(s(A))は、 = U_s \ phi(A)U_s ^ * $$

真空の周期性

短いバージョンは、すべての演算子表現を真空に適用することによって、$ \ mathcal {H} $のほぼすべての要素を得ることです。 厳密なバージョンは$ \ left \ {\ phi(A)\ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $は$ \ mathcal {H} $で密である。

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