ホロノミック制約と自由度

Christian Schnorr 02/08/2017. 1 answers, 160 views
classical-mechanics lagrangian-formalism coordinate-systems constrained-dynamics degrees-of-freedom

Wikipediaと他の情報源は関数としてホロノミック制約を定義する

$$ f(\ vec {r} _1、\ ldots、\ vec {r} _N、t)\ equiv 0、$$

システムの自由度の数は、独立したホロノミック制約の数によって減少すると述べている。

私は$ f_1、\ ldots、f_m $のような複数の制約をとり、$ f_i $がすべて満たされている場合にのみ満たされる単一のものとして定式化することができます:

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} {\ lvert f_i \ rvert}。 $$

この結合された$ f $は、明らかに自由度の数を$ 1 $ではなく$ m $だけ減らすことになります。

代わりに、絶対値を避けるために、私は四角形の合計

$$ f = \ sum_ {i = 1} ^ {m} f_i ^ 2 $$

代わりに。 推理で私の誤りはどこですか?

1 Answers


Qmechanic 04/13/2017.

まあ、 ホロノミック制約 $ f_1、\ ldots、f_m $の定義には、OPの反例が満たさない2つの技術的規則性条件もあります。

  1. 関数$ f_1、\ ldots、f_m、$は$ m \ leq 3N $で連続的に微分可能でなければなりません。

  2. $ m \ times 3N $の長方形のヤコビ行列$$ \ frac {\ partial(f_1、\ ldots、f_m)} {$ partial(\ vec {r} _1、\ ldots、\ vec {r} _N)} $$ランク$ m $を持つ必要があります。

規則性条件1と2は、 逆関数定理を介して、$ n:= 3N-m $であるオープンな近傍に一般化座標 $ q_1、\ ldots、q_n $が存在することを保証するために課せられます。

この関連するPhys.SEの投稿も参照してください。

参考文献:

  1. M. Henneaux&C. Teitelboim、 Quantization of Gauge Systems, 1994; 第1.1.2節、p。 7。

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